使用导数证明一个经典不等式：e^x ≥ 1 + x

用导数证明： 对一切实数 成立

这是一个非常基础且重要的不等式，它在数学分析、概率论等许多领域都有应用。下面我们利用导数来严格证明它。

证明思路

考虑函数 。我们只需证明 对所有 成立。通过研究 的单调性和极值点，可以找到它的最小值，并证明最小值非负。

证明过程

1. 定义函数
令

2. 求导
计算一阶导数：

3. 找临界点
令 ，即 ，解得唯一驻点 。

4. 分析单调性

• 当 时，，所以 ， 单调递减；
• 当 时，，所以 ， 单调递增。

因此， 是函数的全局极小值点（实际上也是最小值点）。

5. 计算极小值
代入 ：

6. 得出结论
由于 在 处取得最小值 ，所以对任意实数 ，有

等号成立当且仅当 。

注记

• 这个不等式可以进一步推广，例如利用凸函数的性质可以得到更一般的结果。
• 本题所用的方法是证明函数不等式的基本手段：构造辅助函数，通过导数研究单调性和极值。

通过这个例子，我们看到了导数在不等式证明中的强大作用。掌握这种方法，可以帮助你处理许多类似的问题。