极限、恒成立与含参函数单调性讨论

极限、恒成立与含参函数单调性讨论

1. 极限与不定式

• 若 或 ，则 称为 或 型不定式。
• 例如：。
• 。
• 型可转化为 或 型，例如：
  。

2. 恒成立问题与单调性讨论

例1

已知 ，若 恒成立，求 的取值范围。

解：设 ，

• 当 时，（仅当 时取等）， 在 单调递增，又 ，故 恒成立，即不等式成立。
• 当 时，存在 使 ， 在 上单调递减，则 ，不等式不恒成立。
  综上，。

例2

已知 ，当 时， 恒成立，求 的取值范围。

解：由 得 。当 时， 成立。当 时，

令 ，求其最小值。

令 ，则 ，故 在 单调递增，，从而 ， 在 单调递增。
其最小值为右极限：

故 。

3. 含参函数单调性讨论（一阶导数可因式分解）

例3

，讨论其单调性。

解：

• 当 时，，，故 ， 在 单调递增。
• 当 时，令 得 。
  • 在 上，，， 单调递增。
  • 在 上，，， 单调递减。

例4

，讨论其单调性。

解：

• 当 时，， 在 单调递增，在 单调递减。
• 当 时， 的两根为 。需比较 与 的大小：
  • 若 ，则 ， 在 和 上 （增），在 上 （减）。
  • 若 ，则 ，， 在 上单调递减。
  • 若 ，则 ， 在 和 上 （增），在 上 （减）。
• 当 时， 的两根仍为 。由于 ， 的符号由 决定。 在 和 上 （减），在 上 （增）。

4. 含参函数单调性讨论（一阶导数不可因式分解的二次型）

例5

，讨论其单调性。

解：

令 ，其对称轴为 ，判别式 。

• 当 时，对称轴 ，且 ，故 恒成立，， 在 单调递减。
• 当 时：
  • 若 即 ，则 ，， 在 单调递减。
  • 若 即 ，则 有两正根：
    。
    此时 在 和 上为负（ 递减），在 上为正（ 递增）。

5. 其他例题

例6

，在 上讨论单调性。

解：

在 上，，故 的符号由 决定。

• 当 时，在 上 ，故 ， 单调递增。
• 当 时，在 上 ，故 ， 单调递减。
• 当 时，令 得 。
  • 在 上，，， 单调递减。
  • 在 上，，， 单调递增。

例7

，讨论其单调性。

解：定义域为 。

更便于讨论的形式是通分后考察分子二次型：

令 ，其判别式 。

• 当 时，若 （即 ，与 取交集得 ），则 ，， 在定义域内单调递增。
• 当 时：
  • 若 即 ，则 ，， 在定义域内单调递减。
  • 若 即 ，方程 有两实根：
    ，且 。
    结合开口向下（），可得：
    • 在 和 上，，， 单调递增。
    • 在 和 上，，， 单调递减。

6. 总结：含参二次型导数符号判断步骤

1. 看开口：由二次项系数 判断抛物线开口方向。
2. 看对称轴：确定对称轴位置，辅助判断极值点。
3. 看判别式：由 判断根的个数。
4. 看根：若 ，求出根 。
5. 看定义域：判断根是否在函数定义域内，结合图像划分区间讨论导数符号。

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