导数与放缩

导数与放缩

一、指对切线放缩

1. 函数 （蓝色实线），切线 （红色实线），切点 。表达式：。
2. 函数 （蓝色实线），切线 （绿色实线），切点 。表达式：。
3. 函数 （蓝色实线），切线 （橙色实线），切点 。表达式：。
4. 函数 （蓝色实线）， 处切线（浅灰色虚线）及夹逼线 （红色实线）。表达式：。

二、证明不等式

1. 证明 恒成立

步骤：将原不等式变形为 ，进一步放缩为 。引入变量替换 ，转化为证明 。

2. 当 时，证明

步骤：即证 。利用 ，指出“两次放缩取等条件不同，因此不能取等”。进一步转化为证 ，令 ，则需证 。

3. 求证：对 ，不等式 恒成立

步骤：因 ，只需证 ，即证 ，变形为 。令 ，（ 不好求根）。换元 ，利用均值不等式 ，需证 ，即 （取等条件不同）。

4. 证明：

步骤：从粗略放缩 （标注“不够精确”），到精确放缩 ，最终转化为证 。

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对数函数与指数函数不等式证明（续）

六、重要放缩与拓展

• 泰勒展开与放缩：
  相关：
  ，拓展为 ；
  ，拓展为 。
  相关：
  （ 变小时使用）；
  ；
  区间放缩：
  
  

七、飘带放缩不等式及证明

1. 证明 与

构造函数 ，求导得：

故 在 单调递增，且 。因此：

• 当 时，；
• 当 时，。

2. 证明 与

构造函数 ，求导得：

故 在 单调递减，且 。因此：

• 当 时，；
• 当 时，。

八、已知 ，求证

步骤：只要证 ，即证 。令 ，则 ，转化为证 （由飘带放缩，当 时成立）。

九、当整数 时，满足

步骤：即证 ，进一步转化为证 ，化简后得 （显然成立）。

十、已知 ，且 ，证明：

（Ⅰ）

即证 ，由 （见分析）知成立。

（Ⅱ）

（Ⅲ）

分析：由 变形得 ，构造函数 ，。当 时 ， 时 ，故 在 取最大值。由 且 ，知 。

证明（Ⅲ）：
利用飘带放缩 ，代入得：

化简得 ，即 。因式分解 ，因 ，两边除以 得 。又 ，故 。

证明（Ⅱ）：
由 ，化简得 ，整理得 。因 ，两边除以 得 。由均值不等式 ，代入得 。令 ，则 ，解得 。因 ，故 。